회귀는 가능한가 - 푸앵카레의 재귀정리

사후세계에 대해서 한번쯤 의구심을 품어보지 않은 사람은 없을것이다.

누군가는 이를 종교적으로 접근하고, 누군가는 감성적으로, 또 누군가는 과학적으로 접근한다.

오늘 말하고자 하는것은 어쩌면 이 문제의 답이 될지도 모르는 수학적인 해석이다.

푸앵카레의 재귀정리. Poincaré recurrence theorem. 

다시 말하지만 이는 피타고라스의 정리와 같은 ‘정리’이다.
바꿔 말하면 이는 수학적으로 증명이 된 것을 의미한다. 증명되지 않은 가설이 아니라는것을 짚고 넘어가자.

수학적으로 푸앵카래의 재귀정리는 특정 계는 충분한 시간(푸앵카레 재귀시간 Poincaré recurrence time)이 지난 후 초기상태와 매우 가까운 상태로 회귀한다는 내용이다.

푸앵카레의 재귀정리를 일반인들에게 풀어서 설명할때 가장 많이 쓰는 비유중 하나는 시계의 분침 초침인데, 시계의 초침, 분침이 일정 시간이 지난후 원래 위치로 돌아오는 것과 같이 특정 닫힌 계 안에서 푸앵카레의 재귀시간이 지나면 어느만큼의 오차율을 가진 상태로 원상태와 비슷한 상태로 돌아온다는 내용이다.

이 오차율은 고정된것이 아닌 변수로써 오차율이 적어지면 적어질수록 필요한 재귀시간이 늘어나는 구조로, 여기에서 핵심은 아무리 오차율을 줄여도 이 재귀시간이 무한하지 않다는데에 있다.
 
수학적인 증명을 더 들여다보고 싶은 이들은 아래 링크를 참조하자.

https://planetmath.org/ProofOfPoincareRecurrenceTheorem1
https://planetmath.org/proofofpoincarerecurrencetheorem2

proof of Poincaré recurrence theorem 2

proof of Poincaré recurrence theorem 1

 
위의 이야기를 조금 풀어 말하면, 지금 우리가 사는 이 우주가 닫힌 계일때 무한하지 않은 순간이 지나면 지금 이 순간 이 글을 쓰고 있는 나와 거의 차이를 찾아볼수 없는 이가 같은 글을 쓰고 있을것이라는 이야기.

어쩌면 이 오차율 덕에 나는 과거의 기억을 가지고 있을수도, 혹은 지금보다 어마어마하게 잘난 사람으로써 그 이외의 남은 삶을 똑같이 살고 있었을지도 모르는 그런 이야기이다.

물론 굉장히 자의적인 해석이 더해진 행복회로이지만 적어도 내 삶의 이후에도 다시한번 나에게  삶이 찾아올것으로 보이는 내용이 수학적으로 증명이 되었다는것은 가히 놀랍지 않을수 없다.

그럼 여기에서 가장 중요한 질문.

이 푸앵카레의 재귀시간은 과연 얼마나 긴 시간일까.

이 시간은 사실 표기하는 것이 의미가 없을정도로 긴 시간이다.
현재 우리가 사용하는 숫자로 표기하는것이 의미가 없을정도로 긴 시간.

돈 페이지라고 하는 캐나다 알버타 대학교의 물리학자는 본인이 설계한 우주의 모델의 재귀시간을 10^{10^{10^{10^{2.08}}}} 라고 표현했다.

이쯤 되면 단위가 초인지 년인지도 의미가 없어진다.
그저 무한하지 않은 수라는것으로만 이해하면 된다.

그리하여 이 무한하지 않은 시간이 흐르고, 우리는 아마도 우리의 시작지점.
태어난 순간으로 돌아갈수 있을지 모른다.

아마도 지금 이 순간을 기억하지는 못하겠지만, 두번다시 볼수 없게 된 보고싶었던 사람도 다시 만나고, 과거에 후회했던 순간도 다시한번 마주할수 있을것이다. 이때 오차율이 부디 지난번과는 다른 선택을 하기를 바래보자.

혹은.

당신은 이미 한번 혹은 여러번 회귀를 한상태인지도 모른다.
그러니 당신의 의지를 통해, 특정 오차율로 지난번 생과는 조금 다른 선택을 할수 있을지도 모른다.
 
그러니 다시 찾아온 이 삶을 한번 열심히 살아보자.